壓逆為正 vs. 拉順為正

在考場中背誦一些口訣，在臨危的時候可以起很大的作用，有使用過施國欽老師叢書的讀者，相信對於「壓逆為正」、「拉順為正」的口訣一定是深刻地烙印在腦中；因此受到施老師的啟發，若水先生嘗試以綜觀的角度，以流體力學、材料力學與土壤力學等三個基礎專業學科，來討論命名法則 (Naming convention) 、符號法則 (Sign convention) 與座標系統 (Coordinate system)。在應力的表示方法，使用以下列書籍提供的命名法則與符號法則為主要依據：

  1. 流體力學：Currie, I. G. (2012). Fundamental mechanics of fluids.
  2. 材料力學：James M. Gere and Stephen P. Timoshenko. (1990). Mechanics of Materials.
  3. 土壤力學：Holtz, R. D., & Kovacs, W. D. (1981). An introduction to geotechnical engineering.

命名法則、符號法則與座標系統皆為人為的定義，實際的物理現象並不會隨著這三種系統的選擇而改變，所以不管用哪個學者或學派的定義，推導相關公式的過程到最後對應的物理現象，都只會殊途同歸。

命名法則 (Naming convention)
對於應力元素上所分布的應力，予以命名的方法即為命名法則，為一種標示的方法，便於他人閱讀。

在流體力學或材料力學多使用雙下標命名法則，第一個下標表示應力所在「面」的方向；第二個下標表示應力所指「向」的方向，所以要看一個應力的基本特徵就要看它的面相（面向），如下圖所示。

在土壤力學則常使用下標1、2、3表示主應力的方向，且主應力的方向常跟隨著三軸剪力試驗的配置相互呼應，以利於直接觀察實驗進行中的現象，如下圖所示。


為方便推倒應力轉換公式，於此篇文章的應力命名法則僅使用雙下標命名法則，予以統一。

符號法則 (Sign convention)
謹記符號法則的選擇，並沒有誰對誰錯的差異，只有慣用與否；同時當應力元素畫出來時，僅適用於一種符號法則，不得搭配使用。

Timoshenko 系統
於流體力學與材料力學當中，常延續雙下標命名法則當中的雙下標作為符號法則的依據，若某應力標註顯示：第一個下標的「面」法向量指向正方向；第二個下標的「向」指向負方向，則此應力定義為負的量值，以此準則則可以推論其他方向之應力，對應正負量值。在此節錄 Gere 所著的 Mechanics of Materials 有下述定義：
A stress is positive when the directions associated with its subscripts are plus-plus or minus-minus; the stress is negative when the directions are plus-minus or minus-plus.

Holtz 系統
於土壤力學中，對於正向應力指向應力元素內部定義為正的量值；以應力元素外一點為支點，剪應力造成順時針力矩，定義為正的量值；反之亦然。

座標系統 (Coordinate system)
座標系統的確立是主要去描述力量作用方向（牛頓第二運動定律），以此作為力平衡分析的依據，與命名法則和符號法則無關。座標系統的種類有許多種，在此文章的論述以卡氏座標 (Cartesian coordinate system) 作為分析用的座標系統。


綜合比較
下表為對於各基礎專業學科，常使用的命名法則與符號法則。


當應力元素對應的命名法則、符號法則與座標系統確立時，就可以做後續的力學分析。於材料力學與土壤力學中有下列用途：
  • 應力轉換公式：透過應力元素的分析，可針對特定角度之剖面，自主應力或特定應力組合計算出該處對應的正向應力與剪應力。
  • 莫爾圓之繪製：根據符號法則的應用，在應力元素中即可表示出共軛剪應力組合，又便於表示出於某剪應力或軸差應力的作用下，所產生的共軛破壞面發展過程。
試想流體力學需要應力轉換公式或莫爾圓之繪製？答案是不需要的，流體與彈性體間的差異，主要在於流體是無法抗剪，故流體應力元素的應力分布將與邊界條件有關；使用命名法則、符號法則與座標系統用途為：
  • 推導微分型式之控制方程式所需。

總結
  • 命名法則、符號法則與座標系統的選擇將因人而異，因此應力轉換公式、莫爾圓之繪製、微分型式之控制方程式等也會有些許差異，並無絕對的對錯；
  • 考場只需要一組「命名法則和符號法則」的熟捻即可。

延伸閱讀：
其他參考資料：
  • Das, B. M. (2013). Advanced soil mechanics.
  • Das, B. M., & Sobhan, K. (2013). Principles of geotechnical engineering.

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